算经十书

《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作,这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书。十部书的名称是:《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》。《算经十书》标志着中国古代数学的高峰。

唐代国子监内设立算学馆,置博士、助教指导学生学习数学,唐高宗显庆元年(656),规定《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算经》十部汉、唐一千多年间的十部著名数学著作作为国家最高学府的算学教科书,用以进行数学教育和考试,后世通称为《算经十书》.

这十部算书,以《周髀算经》为最早,不知道它的作者是谁,据考证,它成书的年代当不晚于西汉后期(公元前一世纪)。《周髀算经》不仅是数学著作,更确切地说,它是讲述当时的一派天文学学说——“盖天说”的天文著作。

就其中的数学内容来说,书中记载了用勾股定理来进行的天文计算,还有比较复杂的分数计算。当然不能说这两项算法都是到公元前一世纪才为人们所掌握,它仅仅说明在已经知道的资料中,《周髀算经》是比较早的记载。

对古代中国数学的各个方面全面完整地进行叙述的是《九章算术》,它是十部算书中最重要的一部。它对以后古代数学发展所产生的影响,正像古希腊欧几里得(约前330—前275)《几何原本》对西方数学所产生的影响一样,是非常深刻的。在中国,它在一千几百年间被直接用作数学教育的教科书。它还影响到国外,朝鲜和日本也都曾拿它当作教科书。

《九章算术》,也不知道确实的作者是谁,只知道西汉早期的著名数学家张苍(前201—前152)、耿寿昌等人都曾经对它进行过增订删补。《汉书·艺文志》中没有《九章算术》的书名,但是有许商、杜忠二人所著的《算术》,因此有人推断其中或者也含有许、杜二人的工作。1984年,湖北江陵张家山西汉早期古墓出土《算数书》书简,推算成书当比《九章算术》早一个半世纪以上,内容和《九章算术》极相类似,有些算题和《九章算术》算题文句也基本相同,

可见两书有某些继承关系。可以说《九章算术》是在长时期里经过多次修改逐渐形成的,虽然其中的某些算法可能早在西汉之前就已经有了。正如书名所反映的,全书共分九章,一共搜集了二百四十六个数学问题,连同每个问题的解法,分为九大类,每类算是一章。

从数学成就上看,首先应该提到的是:书中记载了当时世界上最先进的分数四则运算和比例算法。书中还记载有解决各种面积和体积问题的算法以及利用勾股定理进行测量的各种问题。《九章算术》中最重要的成就是在代数方面,书中记载了开平方和开立方的方法,并且在这基础上有了求解一般一元二次方程(首项系数不是负)的数值解法。还有整整一章是讲述联立一次方程解法的,这种解法实质上和中学里所讲的方法是一致的。这要比欧洲同类算法早出一千五百多年。在同一章中,还在世界数学史上第一次记载了负数概念和正负数的加减法运算法则。

影响

《九章算术》不仅在中国数学史上占有重要地位,它的影响还远及国外。在欧洲中世纪,《九章算术》中的某些算法,例如分数和比例,就有可能先传入印度再经阿拉伯传入欧洲。再如“盈不足”(也可以算是一种一次内插法),在阿拉伯和欧洲早期的数学著作中,就被称作“中国算法”。作为一部世界科学名著,《九章算术》已经被译成许多种文字出版。

《孙子算经》

约成书于四、五世纪,作者生平和编写年代都不清楚。传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则,卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法。

《孙子算经》中国是世界上最早采用十进位值制记数的国家,春秋战国之际已普遍应用的筹算,即严格遵循了十进位值制。关于算筹记数法仅见的资料载于《孙子算经》。《孙子算经》三卷,成书年代约为公元4世纪,该书上卷是关于筹算法则的系统介绍,下卷则有著名的“物不知数”题,亦称“孙子问题”。 卷下第31题,可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖,后来传到日本,变成“鹤龟算”。书中是这样叙述的:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔?

具有重大意义的是卷下第26题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?答曰:『二十三』”。《孙子算经》不但提供了答案,而且还给出了解法。南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作,推广“物不知数”的问题。德国数学家高斯﹝K.F. Gauss.公元1777-1855年﹞于公元1801年出版的《算术探究》中明确地写出了上述定理。公元1852年,英国基督教士伟烈亚士﹝Alexander Wylie公元1815-1887年﹞将《孙子算经》“物不知数”问题的解法传到欧洲,公元1874年马蒂生﹝L.Mathiesen﹞指出孙子的解法符合高斯的定理,从而在西方的数学史里将这一个定理称为“中国的剩余定理”﹝Chinese remainder theorem﹞。

《五曹算经》是一部为地方行政人员所写的应用算术书(作者不可详,有的认为其作者是甄鸾),全书分为田曹、兵曹、集曹、仓曹、金曹等五个项目,所以称为 “ 五曹 ” 算经。所讲问题的解法都浅显易懂,数字计算都尽可能地避免分数。全书共收67个问题。它的著者和年代都没有记载。欧阳修《新唐书》卷五十九《艺文志》有:「甄鸾《五曹算经》五卷」其它各书也有类似的记载。甄鸾是公元535-566年前后的人。

《五曹算经》此系南宋刊本《五曹算经》卷首书影,刻于南宋嘉定五年(一二一二年)。《五曹算经》是我国的一部数学古籍,作者是北周的甄鸾(字叔遵,河北无极人),他通晓天文历法,曾任司隶大夫、汉中郡守等职务。唐李淳风等曾为之作注。

夏侯阳算经,算经十书之一。原书已失传无考。北宋元丰九年(1084年)所刻《夏侯阳算经》是唐中叶的一部算书。引用当时流传的乘除捷法,解答日常生活中的应用问题,保存了很多数学史料。

《张邱建算经》的作者是张邱建(南宋刊算经为《张丘建算经》,因避讳孔子,后改为《张邱建算经》),大约作于5世纪后期,里面有对最大公约数、最小公倍数的应用问题,还有等差级数问题,最著名的是提出了不定方程组 —— 百鸡问题,但是没有具体说明其解法。《夏侯阳算经》估计是北魏时代的作品。里面概括地叙述了乘除速算法则、分数法则,解释了 ” 法除 ” 、 “ 步除 ” 、 “ 约除 ” 、 “ 开平方 ” 、 “ 方立 ” 等法则,另外推广了十进小数的应用,全与表示法不同,计算结果有奇零时借用分、厘、毫、丝等长度单位名称表示文以下的十进小数。  「百鸡问题」是《张邱建算经》中的一个著名数学问题,它给出了由三个未知量的两个方程组成的不定方程组的解。百鸡问题是:「今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一。凡百钱买鸡百只,问鸡翁母雏各几何。」依题意即解

自张邱建以後,中国数学家对百鸡问题的研究不断深入,百鸡问题也几乎成了不定方程的代名词,从宋代到清代围绕百鸡问题的数学研究取得了很好的成就。

《海岛算经》是三国时期刘徽(约225—约295)所作。这部书中讲述的都是利用标杆进行两次、三次、最复杂的是四次测量来解决各种测量数学的问题。这些测量数学,正是中国古代非常先进的地图学的数学基础。此外,刘徽对《九章算术》所作的注释工作也是很有名的。一般地说,可以把这些注释看成是《九章算术》中若干算法的数学证明。刘徽注中的“割圆术”开创了中国古代圆周率计算方面的重要方法(参见本书第98页),他还首次把极限概念应用于解决数学问题。

王孝通撰《缉古算经》。唐武德八年(625)五月,王孝通撰《缉古算经》在长安成书,这是中国现存最早解三次方程的著作。

唐代立于学官的十部算经中,王孝通《缉古算经》是唯一的一部由唐代学者撰写的。王孝通主要活动于六世纪末和七世纪初。他出身于平民,少年时期便开始潜心钻研数学,隋朝时以历算入仕,入唐后被留用,唐朝初年做过算学博士(亦称算历博士),后升任通直郎、太史丞。毕生从事数学和天文工作。唐武德六年(623),因行用的傅仁均《戊寅元历》推算日月食与实际天象不合,与吏部郎中祖孝孙受命研究傅仁均历存在的问题,武德九年(626)又与大理卿崔善为奉诏校勘傅仁均历,驳正术错三十余处,并付太史施行。

王孝通所著《缉古算术》,被用作国子监算学馆数学教材,奉为数学经典,故后人称为《缉古算经》。全书一卷(新、旧《唐书》称四卷,但由于一卷的题数与王孝通自述相符,因此可能在卷次分法上有所不同)共二十题。第一题为推求月球赤纬度数,属于天文历法方面的计算问题,第二题至十四题是修造观象台、修筑堤坝、开挖沟渠,以及建造仓廪和地窖等土木工程和水利工程的施工计算问题,第十五至二十题是勾股问题。这些问题反映了当时开凿运河、修筑长城和大规模城市建设等土木和水利工程施工计算的实际需要。

北周甄鸾所著,共二卷。书中对《易经》、 《诗经》、《尚书》、 《周礼》、《仪礼》、《礼记》、《论语》、《左传》等儒家经典及其古注中与数字有关的地方详加注释,对研究经学的人或可有一定的帮助,但就数学的内容而论,其价值有限。现传本亦系抄自《永乐大典》。

徐岳(?—220)的《数术记遗》,《数术记遗》以与刘洪问答的形式,介绍了14种计算方法,“未满百言,而骨削质奥,思纬淹通,依然东京风骨。”也就是在这部书中,徐岳在中国也是在世界历史上第一次记载算盘的样式,并第一次珠算定名,在世界珠算史上写下了光辉的一页。 其中著录了十四种古算法。第一种叫"积算",就是当时通用的筹算。还有太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数。"

《数术记遗》仲介绍的一种心算方法。原文说:’既舍数术,宜从心计。’注中说:’言舍数术者,谓不用算筹,当以意计之。’这说明计算时不用珠、筹、针等工具,只用心算完成。但从注中所举各例来看,此处"计算",与现代对心算的理解,又有不同之处。现在的心算,指在数字运算时,不用计算工具,只用意念完成。而"计数"的范围颇广,在测量及其它方面,不但不用计算工具,而且想出巧妙办法,不通过数字运算,直接可得所要求的数字结果。"

《缀术》是南北朝时期著名数学家祖冲之的著作。很可惜,这部书在唐宋之际公元十世纪前后失传了。宋人刊刻《算经十书》的时候就用当时找到的另一部算书《数术记遗》来充数。祖冲之的著名工作——关于圆周率的计算(精确到第七位小数),记载在《隋书·律历志》中。

《算经十书》的其余几部书也记载有一些具有世界意义的成就。例如《孙子算经》中的“物不知数”问题(一次同余式解法,参见本书第106页),《张丘建算经》中的“百鸡问题”(不定方程问题)等等都比较著名。而《缉古算经》中的三次方程解法,特别是其中所讲述的用几何方法列三次方程的方法,也是很具特色的。

《算经十书》中用过的数学名词,如分子、分母、开平方、开立方、正、负、方程等等,都一直沿用到今天,有的已有近两千年的历史了。

《算经十书》较完备地体现了古代中国数学各方面的内容。其中大多数还曾传入朝鲜和日本,成了他们进行数学教育和考试的教科书。

北宋雕板印刷术甚为发达,曾将十部算经刊刻发行(1084),这是世界上最早的印刷本数学书。但此时《缀术》已经失传,实际刊刻的只有九种。到南宋时期,又进行了一次翻刻(1213),在这次南宋翻刻本中则是用《数术记遗》替代了已失传的《缀术》。

在明代,由于不够重视以及其他的社会原因,这十部算经几乎失传。直到清乾隆年间,由于《四库全书》的编辑和乾嘉学派的兴起,十部算经才被重新整理出版。当时发现流传下来的南宋刻本(均系孤本)有《周髀》、《九章》(只有前五章,残)、《孙子》、《五曹》、《夏侯阳》、《张丘建》等七种,其影抄本呈入清宫,收藏于北京故宫博物院。其后,除了《夏侯阳》一种又不知去向外,其余六种南宋刻本经历代藏书家收藏流传至今,存于上海图书馆和北京大学图书馆。

清代学者戴震在参加编辑《四库全书》时,又由明代《永乐大典》中抄出《周髀》、《九章》、《孙子》、《五曹》、《夏侯阳》、《海岛》、《五经》等七种,由影宋抄本中抄出《张丘建》、《缉古》二种,《记遗》是由明刻本抄出,十部算经于是都被抄入《四库全书》。由《永乐大典》中抄出的七种还曾用武英殿聚珍版刊印。

1773年孔继涵以戴震的校订本为主,将十部算经刻入《微波榭丛书》之中,题名为《算经十书》。这是《算经十书》名称的首次出现。

因此,《算经十书》按狭义的理解,是专指孔刻《微波榭丛书》之一的书名;按广义的理解,则是指上述汉唐千余年间陆续出现的十部算书。通常都是按广义来理解。

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